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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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3. Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado
b) f(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen} x orden 4 x0=0x_{0}=0

Respuesta

Para calcular el polinomio de Taylor de la función f(x)=sin⁡(x) f(x) = \sin(x) de orden 4 centrado en x0=0 x_0 = 0 vamos a seguir los mismos pasos que venimos haciendo: Primero, sabemos que la estructura del polinomio de Taylor de orden 4 centrado en x0=0 x_0 = 0 va a ser esta:
p(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)x22!+f(3)(0)x33!+f(4)(0)x44! p(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)x^2}{2!} + \frac{f^{(3)}(0)x^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)x^4}{4!} Ahora calculamos cada una de las derivadas de f(x)=sin⁡(x) f(x) = \sin(x) y las evaluamos en x0=0 x_0 = 0 :

f(x)=sin⁡(x) f(x) = \sin(x)  
f(0)=0f(0) = 0

f′(x)=cos⁡(x) f'(x) = \cos(x) f′(0)= 1 f'(0) =  1 f′′(x)=−sin⁡(x) f''(x) = -\sin(x) f′′(0)= 0 f''(0) =  0 f(3)(x)=−cos⁡(x) f^{(3)}(x) = -\cos(x) f(3)(0)=−1 f^{(3)}(0) = -1 f(4)(x)=sin⁡(x) f^{(4)}(x) = \sin(x) f(4)(0)=0 f^{(4)}(0) = 0 Listo, reemplazamos lo que obtuvimos en nuestro polinomio: p(x)=0+1⋅x+0⋅x22+−1⋅x36+0⋅x424 p(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0 \cdot x^2}{2} + \frac{-1 \cdot x^3}{6} + \frac{0 \cdot x^4}{24}

Reacomodamos: p(x)=x−x36 p(x) = x - \frac{x^3}{6} Y este es el polinomio que estábamos buscando :)
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